Datrys {c}{x+y=21}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 21 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=11.5$$

$$y=9.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=21$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+21$$

Amnewid -y+21 am x yn yr hafaliad arall, 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+21\right)+0.05y=3.35$$

Lluoswch 0.25 â -y+21.

$$-0.25y+5.25+0.05y=3.35$$

Adio -\frac{y}{4} at \frac{y}{20}.

$$-0.2y+5.25=3.35$$

Tynnu 5.25 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-0.2y=-1.9$$

Lluosi’r ddwy ochr â -5.

$$y=9.5$$

Cyfnewidiwch 9.5 am y yn x=-y+21. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-9.5+21$$

Adio 21 at -9.5.

$$x=11.5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=11.5,y=9.5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3.35\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 21+5\times 3.35\\1.25\times 21-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11.5\\9.5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=11.5,y=9.5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=21,0.25x+0.05y=3.35$$

I wneud x a \frac{x}{4} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 0.25 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 21,0.25x+0.05y=3.35$$

Symleiddio.

$$0.25x+0.25y=5.25,0.25x+0.05y=3.35$$

Tynnwch 0.25x+0.05y=3.35 o 0.25x+0.25y=5.25 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Adio \frac{x}{4} at -\frac{x}{4}. Mae'r termau \frac{x}{4} a -\frac{x}{4} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$0.25y-0.05y=5.25-3.35$$

Adio \frac{y}{4} at -\frac{y}{20}.

$$0.2y=5.25-3.35$$

Adio 5.25 at -3.35 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$0.2y=1.9$$

Lluosi’r ddwy ochr â 5.

$$y=9.5$$

Cyfnewidiwch 9.5 am y yn 0.25x+0.05y=3.35. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$0.25x+0.05\times 9.5=3.35$$

Lluoswch 0.05 â 9.5 drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$0.25x+0.475=3.35$$

Tynnu 0.475 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.25x=2.875$$

Lluosi’r ddwy ochr â 4.

$$x=11.5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=11.5,y=9.5$$