Datrys {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x-11, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$y-22-x+11=36$$

Adio -22 a 11 i gael -11.

$$y-11-x=36$$

Ychwanegu 11 at y ddwy ochr.

$$y-x=36+11$$

Adio 36 a 11 i gael 47.

$$y-x=47$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=122$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+122$$

Amnewid -y+122 am x yn yr hafaliad arall, -x+y=47.

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

Lluoswch -1 â -y+122.

$$y-122+y=47$$

Adio y at y.

$$2y-122=47$$

Adio 122 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=169$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=\frac{169}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{169}{2} am y yn x=-y+122. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

Adio 122 at -\frac{169}{2}.

$$x=\frac{75}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x-11, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$y-22-x+11=36$$

Adio -22 a 11 i gael -11.

$$y-11-x=36$$

Ychwanegu 11 at y ddwy ochr.

$$y-x=36+11$$

Adio 36 a 11 i gael 47.

$$y-x=47$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 2.

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

I ddod o hyd i wrthwyneb x-11, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$y-22-x+11=36$$

Adio -22 a 11 i gael -11.

$$y-11-x=36$$

Ychwanegu 11 at y ddwy ochr.

$$y-x=36+11$$

Adio 36 a 11 i gael 47.

$$y-x=47$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=122,-x+y=47$$

Tynnwch -x+y=47 o x+y=122 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x+x+y-y=122-47$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x+x=122-47$$

Adio x at x.

$$2x=122-47$$

Adio 122 at -47.

$$2x=75$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{75}{2}$$

Cyfnewidiwch \frac{75}{2} am x yn -x+y=47. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

Adio \frac{75}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=\frac{169}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$