Datrys {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+3y=14$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-3y+14$$

Amnewid -3y+14 am x yn yr hafaliad arall, 4x-y=4.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

Lluoswch 4 â -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

Adio -12y at -y.

$$-13y+56=4$$

Tynnu 56 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-13y=-52$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=-3y+14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3\times 4+14$$

Lluoswch -3 â 4.

$$x=-12+14$$

Adio 14 at -12.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

I wneud x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

Symleiddio.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

Tynnwch 4x-y=4 o 4x+12y=56 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y+y=56-4$$

Adio 12y at y.

$$13y=56-4$$

Adio 56 at -4.

$$13y=52$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 4x-y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-4=4$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=4$$