Datrys {c}{7x+5y=54}{3x+4y=38}

$$\left. \begin{array} { c } { 7 x + 5 y = 54 } \\ { 3 x + 4 y = 38 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$7x+5y=54$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x=-5y+54$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+54\right)$$

Lluoswch \frac{1}{7} â -5y+54.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}$$

Amnewid \frac{-5y+54}{7} am x yn yr hafaliad arall, 3x+4y=38.

$$3\left(-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}\right)+4y=38$$

Lluoswch 3 â \frac{-5y+54}{7}.

$$-\frac{15}{7}y+\frac{162}{7}+4y=38$$

Adio -\frac{15y}{7} at 4y.

$$\frac{13}{7}y+\frac{162}{7}=38$$

Tynnu \frac{162}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{7}y=\frac{104}{7}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{7}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn x=-\frac{5}{7}y+\frac{54}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{5}{7}\times 8+\frac{54}{7}$$

Lluoswch -\frac{5}{7} â 8.

$$x=\frac{-40+54}{7}$$

Adio \frac{54}{7} at -\frac{40}{7} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-5\times 3}&-\frac{5}{7\times 4-5\times 3}\\-\frac{3}{7\times 4-5\times 3}&\frac{7}{7\times 4-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{7}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}54\\38\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\times 54-\frac{5}{13}\times 38\\-\frac{3}{13}\times 54+\frac{7}{13}\times 38\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$7x+5y=54,3x+4y=38$$

I wneud 7x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 7.

$$3\times 7x+3\times 5y=3\times 54,7\times 3x+7\times 4y=7\times 38$$

Symleiddio.

$$21x+15y=162,21x+28y=266$$

Tynnwch 21x+28y=266 o 21x+15y=162 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$21x-21x+15y-28y=162-266$$

Adio 21x at -21x. Mae'r termau 21x a -21x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$15y-28y=162-266$$

Adio 15y at -28y.

$$-13y=162-266$$

Adio 162 at -266.

$$-13y=-104$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$y=8$$

Cyfnewidiwch 8 am y yn 3x+4y=38. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+4\times 8=38$$

Lluoswch 4 â 8.

$$3x+32=38$$

Tynnu 32 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=8$$