Datrys {c}{4x-y=4}{-12x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x - y = 4 } \\ { - 12 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-y=4$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=y+4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â y+4.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

Amnewid \frac{y}{4}+1 am x yn yr hafaliad arall, -12x+2y=-3.

$$-12\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=-3$$

Lluoswch -12 â \frac{y}{4}+1.

$$-3y-12+2y=-3$$

Adio -3y at 2y.

$$-y-12=-3$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=9$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=-9$$

Cyfnewidiwch -9 am y yn x=\frac{1}{4}y+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9\right)+1$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -9.

$$x=-\frac{9}{4}+1$$

Adio 1 at -\frac{9}{4}.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-12&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\\-\frac{-12}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-\left(-12\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-3\times 4-\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4}\\-9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-y=4,-12x+2y=-3$$

I wneud 4x a -12x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -12 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-12\times 4x-12\left(-1\right)y=-12\times 4,4\left(-12\right)x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$-48x+12y=-48,-48x+8y=-12$$

Tynnwch -48x+8y=-12 o -48x+12y=-48 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-48x+48x+12y-8y=-48+12$$

Adio -48x at 48x. Mae'r termau -48x a 48x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y-8y=-48+12$$

Adio 12y at -8y.

$$4y=-48+12$$

Adio -48 at 12.

$$4y=-36$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=-9$$

Cyfnewidiwch -9 am y yn -12x+2y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-12x+2\left(-9\right)=-3$$

Lluoswch 2 â -9.

$$-12x-18=-3$$

Adio 18 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-12x=15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -12.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{5}{4},y=-9$$