Datrys {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3.9x+y=359.7$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3.9x=-y+359.7$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 3.9, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

Lluoswch \frac{10}{39} â -y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

Amnewid -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} am x yn yr hafaliad arall, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

Lluoswch -1.8 â -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

Adio \frac{6y}{13} at -y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

Adio \frac{10791}{65} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{7}{13}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Cyfnewidiwch -\frac{2276}{35} am y yn x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

Lluoswch -\frac{10}{39} â -\frac{2276}{35} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

Adio \frac{1199}{13} at \frac{4552}{273} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

I wneud \frac{39x}{10} a -\frac{9x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1.8 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.9.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

Symleiddio.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

Tynnwch -7.02x-3.9y=-510.9 o -7.02x-1.8y=-647.46 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Adio -\frac{351x}{50} at \frac{351x}{50}. Mae'r termau -\frac{351x}{50} a \frac{351x}{50} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Adio -\frac{9y}{5} at \frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

Adio -647.46 at 510.9 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$2.1y=-136.56$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 2.1, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Cyfnewidiwch -\frac{2276}{35} am y yn -1.8x-y=-131. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

Tynnu \frac{2276}{35} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -1.8, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$