Datrys {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=5$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Amnewid \frac{-y+5}{3} am x yn yr hafaliad arall, -2x+2y=7.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

Lluoswch -2 â \frac{-y+5}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

Adio \frac{2y}{3} at 2y.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Adio \frac{10}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{8}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{31}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{31}{8} am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â \frac{31}{8} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Adio \frac{5}{3} at -\frac{31}{24} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{3}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

I wneud 3x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Symleiddio.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Tynnwch -6x+6y=21 o -6x-2y=-10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

Adio -6x at 6x. Mae'r termau -6x a 6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-6y=-10-21$$

Adio -2y at -6y.

$$-8y=-10-21$$

Adio -10 at -21.

$$-8y=-31$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=\frac{31}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{31}{8} am y yn -2x+2y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

Lluoswch 2 â \frac{31}{8}.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Tynnu \frac{31}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=\frac{3}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$