Datrys {c}{3x+y=2}{x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 2 } \\ { x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=2$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Amnewid \frac{-y+2}{3} am x yn yr hafaliad arall, x-y=-3.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}-y=-3$$

Adio -\frac{y}{3} at -y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}=-3$$

Tynnu \frac{2}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{4}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{11}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{11}{4} am y yn x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{11}{4}+\frac{2}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â \frac{11}{4} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{11}{12}+\frac{2}{3}$$

Adio \frac{2}{3} at -\frac{11}{12} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{3}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

I wneud 3x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$3x+y=2,3x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$3x+y=2,3x-3y=-9$$

Tynnwch 3x-3y=-9 o 3x+y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+y+3y=2+9$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$y+3y=2+9$$

Adio y at 3y.

$$4y=2+9$$

Adio 2 at 9.

$$4y=11$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=\frac{11}{4}$$

Cyfnewidiwch \frac{11}{4} am y yn x-y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-\frac{11}{4}=-3$$

Adio \frac{11}{4} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$