Datrys {c}{3x+4y=12}{x+6y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+4y=12$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-4y+12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -4y+12.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

Amnewid -\frac{4y}{3}+4 am x yn yr hafaliad arall, x+6y=-16.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

Adio -\frac{4y}{3} at 6y.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{14}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{30}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{30}{7} am y yn x=-\frac{4}{3}y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

Lluoswch -\frac{4}{3} â -\frac{30}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

Adio 4 at \frac{40}{7}.

$$x=\frac{68}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

I wneud 3x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

Symleiddio.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

Tynnwch 3x+18y=-48 o 3x+4y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-18y=12+48$$

Adio 4y at -18y.

$$-14y=12+48$$

Adio 12 at 48.

$$-14y=60$$

Rhannu’r ddwy ochr â -14.

$$y=-\frac{30}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{30}{7} am y yn x+6y=-16. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

Lluoswch 6 â -\frac{30}{7}.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

Adio \frac{180}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{68}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$