Datrys {c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=32$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+32$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Amnewid \frac{-2y+32}{3} am x yn yr hafaliad arall, 365x+226y=267.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

Lluoswch 365 â \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

Adio -\frac{730y}{3} at 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

Tynnu \frac{11680}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{52}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Cyfnewidiwch \frac{27193}{130} am y yn x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â \frac{27193}{130} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

Adio \frac{32}{3} at -\frac{27193}{195} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

I wneud 3x a 365x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 365 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

Symleiddio.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

Tynnwch 1095x+678y=802.8 o 1095x+730y=11680 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

Adio 1095x at -1095x. Mae'r termau 1095x a -1095x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$730y-678y=11680-802.8$$

Adio 730y at -678y.

$$52y=11680-802.8$$

Adio 11680 at -802.8.

$$52y=10877.2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 52.

$$y=\frac{27193}{130}$$

Cyfnewidiwch \frac{27193}{130} am y yn 365x+226y=267.6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

Lluoswch 226 â \frac{27193}{130}.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

Tynnu \frac{3072809}{65} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 365.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$