Datrys {c}{2x+7y=77}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+7y=77$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-7y+77$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -7y+77.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

Amnewid \frac{-7y+77}{2} am x yn yr hafaliad arall, x-2y=2.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

Adio -\frac{7y}{2} at -2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

Tynnu \frac{77}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{11}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{73}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{73}{11} am y yn x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

Lluoswch -\frac{7}{2} â \frac{73}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

Adio \frac{77}{2} at -\frac{511}{22} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{168}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

I wneud 2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

Symleiddio.

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

Tynnwch 2x-4y=4 o 2x+7y=77 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$7y+4y=77-4$$

Adio 7y at 4y.

$$11y=77-4$$

Adio 77 at -4.

$$11y=73$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=\frac{73}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{73}{11} am y yn x-2y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

Lluoswch -2 â \frac{73}{11}.

$$x-\frac{146}{11}=2$$

Adio \frac{146}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{168}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$