Datrys {c}{2x+6y=7}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 6 y = 7 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

$$y=-\frac{1}{8}=-0.125$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+6y=7$$

Tynnu 6y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-6y+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-6y+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -6y+7.

$$x=-3y+\frac{7}{2}$$

Amnewid -3y+\frac{7}{2} am x yn yr hafaliad arall, x-y=4.

$$-3y+\frac{7}{2}-y=4$$

Adio -3y at -y.

$$-4y+\frac{7}{2}=4$$

Tynnu \frac{7}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4y=\frac{1}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=-\frac{1}{8}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{8} am y yn x=-3y+\frac{7}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{7}{2}$$

Lluoswch -3 â -\frac{1}{8}.

$$x=\frac{3}{8}+\frac{7}{2}$$

Adio \frac{7}{2} at \frac{3}{8} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{31}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{2\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-6}&\frac{2}{2\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{4}\times 4\\\frac{1}{8}\times 7-\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{8}\\-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+6y=7,x-y=4$$

I wneud 2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$2x+6y=7,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

Symleiddio.

$$2x+6y=7,2x-2y=8$$

Tynnwch 2x-2y=8 o 2x+6y=7 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+6y+2y=7-8$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y+2y=7-8$$

Adio 6y at 2y.

$$8y=7-8$$

Adio 7 at -8.

$$8y=-1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$y=-\frac{1}{8}$$

Cyfnewidiwch -\frac{1}{8} am y yn x-y=4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-\left(-\frac{1}{8}\right)=4$$

Tynnu \frac{1}{8} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{31}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{31}{8},y=-\frac{1}{8}$$