Datrys {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 10 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$2x+3y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$4x-3y=20$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=10$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+5 am x yn yr hafaliad arall, 4x-3y=20.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

Lluoswch 4 â -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20-3y=20$$

Adio -6y at -3y.

$$-9y+20=20$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=-\frac{3}{2}y+5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 10 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$2x+3y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$4x-3y=20$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=5,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Ychwanegu 10 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$2x+3y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$4x-3y=20$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

I wneud 2x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

Symleiddio.

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

Tynnwch 8x-6y=40 o 8x+12y=40 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y+6y=40-40$$

Adio 12y at 6y.

$$18y=40-40$$

Adio 40 at -40.

$$18y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 18.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn 4x-3y=20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x=20$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=5,y=0$$