Datrys {c}{2x+3y=17}{3x-2y=-0.5}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 2 y = - 0.5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2.5$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=17$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+17$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+17\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+17.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}$$

Amnewid \frac{-3y+17}{2} am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y=-0.5.

$$3\left(-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}\right)-2y=-0.5$$

Lluoswch 3 â \frac{-3y+17}{2}.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{51}{2}-2y=-0.5$$

Adio -\frac{9y}{2} at -2y.

$$-\frac{13}{2}y+\frac{51}{2}=-0.5$$

Tynnu \frac{51}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{13}{2}y=-26$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{13}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{17}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times 4+\frac{17}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 4.

$$x=-6+\frac{17}{2}$$

Adio \frac{17}{2} at -6.

$$x=\frac{5}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{5}{2},y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-0.5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 17+\frac{3}{13}\left(-0.5\right)\\\frac{3}{13}\times 17-\frac{2}{13}\left(-0.5\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{5}{2},y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=17,3x-2y=-0.5$$

I wneud 2x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$3\times 2x+3\times 3y=3\times 17,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(-0.5\right)$$

Symleiddio.

$$6x+9y=51,6x-4y=-1$$

Tynnwch 6x-4y=-1 o 6x+9y=51 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$6x-6x+9y+4y=51+1$$

Adio 6x at -6x. Mae'r termau 6x a -6x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$9y+4y=51+1$$

Adio 9y at 4y.

$$13y=51+1$$

Adio 51 at 1.

$$13y=52$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 3x-2y=-0.5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\times 4=-0.5$$

Lluoswch -2 â 4.

$$3x-8=-0.5$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=7.5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=2.5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2.5,y=4$$