Datrys {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$10x+14y=460$$

Tynnu 14y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$10x=-14y+460$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

Lluoswch \frac{1}{10} â -14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

Amnewid -\frac{7y}{5}+46 am x yn yr hafaliad arall, x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

Adio -\frac{7y}{5} at y.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

Tynnu 46 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{2}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=15$$

Cyfnewidiwch 15 am y yn x=-\frac{7}{5}y+46. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

Lluoswch -\frac{7}{5} â 15.

$$x=-21+46$$

Adio 46 at -21.

$$x=25$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=25,y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=25,y=15$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

I wneud 10x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 10.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

Symleiddio.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

Tynnwch 10x+10y=400 o 10x+14y=460 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

Adio 10x at -10x. Mae'r termau 10x a -10x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$14y-10y=460-400$$

Adio 14y at -10y.

$$4y=460-400$$

Adio 460 at -400.

$$4y=60$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=15$$

Cyfnewidiwch 15 am y yn x+y=40. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+15=40$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=25$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=25,y=15$$