Datrys {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$10a+b=10$$

Tynnu b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$10a=-b+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{10} â -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

Amnewid -\frac{b}{10}+1 am a yn yr hafaliad arall, -a+b=2.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

Lluoswch -1 â -\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

Adio \frac{b}{10} at b.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

Adio 1 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{11}{10}b=3$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{11}{10}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$b=\frac{30}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{30}{11} am b yn a=-\frac{1}{10}b+1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

Lluoswch -\frac{1}{10} â \frac{30}{11} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

Adio 1 at -\frac{3}{11}.

$$a=\frac{8}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Tynnwch -a+b=2 o 10a+b=10 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$10a+a+b-b=10-2$$

Adio b at -b. Mae'r termau b a -b yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10a+a=10-2$$

Adio 10a at a.

$$11a=10-2$$

Adio 10 at -2.

$$11a=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$a=\frac{8}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{8}{11} am a yn -a+b=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer b yn uniongyrchol.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

Adio \frac{8}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$b=\frac{30}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$