Datrys {c}{0.9x+0.49y=605}{x+y=1000}

$$\left. \begin{array} { c } { 0.9 x + 0.49 y = 605 } \\ { x + y = 1000 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{11500}{41} = 280\frac{20}{41} \approx 280.487804878$$

$$y = \frac{29500}{41} = 719\frac{21}{41} \approx 719.512195122$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$0.9x+0.49y=605$$

Tynnu \frac{49y}{100} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.9x=-0.49y+605$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.9, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{10}{9}\left(-0.49y+605\right)$$

Lluoswch \frac{10}{9} â -\frac{49y}{100}+605.

$$x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}$$

Amnewid -\frac{49y}{90}+\frac{6050}{9} am x yn yr hafaliad arall, x+y=1000.

$$-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}+y=1000$$

Adio -\frac{49y}{90} at y.

$$\frac{41}{90}y+\frac{6050}{9}=1000$$

Tynnu \frac{6050}{9} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{41}{90}y=\frac{2950}{9}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{41}{90}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{29500}{41}$$

Cyfnewidiwch \frac{29500}{41} am y yn x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{49}{90}\times \frac{29500}{41}+\frac{6050}{9}$$

Lluoswch -\frac{49}{90} â \frac{29500}{41} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{144550}{369}+\frac{6050}{9}$$

Adio \frac{6050}{9} at -\frac{144550}{369} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{11500}{41}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.9-0.49}&-\frac{0.49}{0.9-0.49}\\-\frac{1}{0.9-0.49}&\frac{0.9}{0.9-0.49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}&-\frac{49}{41}\\-\frac{100}{41}&\frac{90}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}\times 605-\frac{49}{41}\times 1000\\-\frac{100}{41}\times 605+\frac{90}{41}\times 1000\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11500}{41}\\\frac{29500}{41}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

I wneud \frac{9x}{10} a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 0.9.

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=0.9\times 1000$$

Symleiddio.

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=900$$

Tynnwch 0.9x+0.9y=900 o 0.9x+0.49y=605 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.9x-0.9x+0.49y-0.9y=605-900$$

Adio \frac{9x}{10} at -\frac{9x}{10}. Mae'r termau \frac{9x}{10} a -\frac{9x}{10} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$0.49y-0.9y=605-900$$

Adio \frac{49y}{100} at -\frac{9y}{10}.

$$-0.41y=605-900$$

Adio 605 at -900.

$$-0.41y=-295$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -0.41, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{29500}{41}$$

Cyfnewidiwch \frac{29500}{41} am y yn x+y=1000. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+\frac{29500}{41}=1000$$

Tynnu \frac{29500}{41} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{11500}{41}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$