Datrys {c}{(1-2/x+1)divx^2-2x+1/x+1=y}{x=sqrt{2}+1}

$$\left. \begin{array} { c } { ( 1 - \frac { 2 } { x + 1 } ) \div \frac { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } { x + 1 } = y } \\ { x = \sqrt { 2 } + 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2.414213562$$

$$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781$$

Camau Ateb

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Mewnosod y gwerthoedd sy’n hysbys i’r hafaliad.

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{2}+1+1}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Adio 1 a 1 i gael 2.

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{2}+2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Mae'n rhesymoli enwadur \frac{2}{\sqrt{2}+2} drwy luosi'r rhifiadur a'r enwadur â \sqrt{2}-2.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Ystyriwch \left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right). Gellir trawsnewid lluosi yn wahaniaeth rhwng sgwariau drwy ddefnyddio’r rheol: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Sgwâr \sqrt{2}. Sgwâr 2.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{2-4}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Tynnu 4 o 2 i gael -2.

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Canslo -2 a -2.

$$\frac{1-\left(-\left(\sqrt{2}-2\right)\right)}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Gwrthwyneb -\left(\sqrt{2}-2\right) yw \sqrt{2}-2.

$$\frac{1+\sqrt{2}-2}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Tynnu 2 o 1 i gael -1.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Defnyddio'r theorem binomaidd \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} i ehangu'r \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Sgwâr \sqrt{2} yw 2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{2+2\sqrt{2}+1-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Adio 2 a 1 i gael 3.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{3+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Adio 3 a 1 i gael 4.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

Adio 1 a 1 i gael 2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+2}}=y$$

Mae'n rhesymoli enwadur \frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+2} drwy luosi'r rhifiadur a'r enwadur â \sqrt{2}-2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}}=y$$

Ystyriwch \left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right). Gellir trawsnewid lluosi yn wahaniaeth rhwng sgwariau drwy ddefnyddio’r rheol: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}}=y$$

Sgwâr \sqrt{2}. Sgwâr 2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{2-4}}=y$$

Tynnu 4 o 2 i gael -2.

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}}=y$$

Rhannwch -1+\sqrt{2} â \frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2} drwy luosi -1+\sqrt{2} â chilydd \frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}.

$$\frac{\left(-1+\sqrt{2}\right)\left(-2\right)}{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -1+\sqrt{2} â -2.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â \sqrt{2}+1.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Cyfuno 2\sqrt{2} a -2\sqrt{2} i gael 0.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4-2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Tynnu 2 o 4 i gael 2.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â \sqrt{2}-2.

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-4}=y$$

Mae'n rhesymoli enwadur \frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-4} drwy luosi'r rhifiadur a'r enwadur â 2\sqrt{2}+4.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{\left(2\sqrt{2}-4\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}=y$$

Ystyriwch \left(2\sqrt{2}-4\right)\left(2\sqrt{2}+4\right). Gellir trawsnewid lluosi yn wahaniaeth rhwng sgwariau drwy ddefnyddio’r rheol: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

Ehangu \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

Cyfrifo 2 i bŵer 2 a chael 4.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

Sgwâr \sqrt{2} yw 2.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{4\times 2-4^{2}}=y$$

Lluosi 4 a 2 i gael 8.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{8-4^{2}}=y$$

Cyfrifo 4 i bŵer 2 a chael 16.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{8-16}=y$$

Tynnu 16 o 8 i gael -8.

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{-8}=y$$

Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$y=\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{-8}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2-2\sqrt{2} â 2\sqrt{2}+4 a chyfuno termau tebyg.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{-8}$$

Sgwâr \sqrt{2} yw 2.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-4\times 2}{-8}$$

Lluosi -4 a 2 i gael -8.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-8}{-8}$$

Tynnu 8 o 8 i gael 0.

$$y=\frac{-4\sqrt{2}}{-8}$$

Rhannu -4\sqrt{2} â -8 i gael \frac{1}{2}\sqrt{2}.

$$y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\sqrt{2}+1 y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$