Datrys {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=12$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Cyfuno x a -2x i gael -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$-x-2y-3y=-2$$

Cyfuno -2y a -3y i gael -5y.

$$-x-5y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x+3y=18$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-x-5y=-2$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=5y-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

Lluoswch -1 â 5y-2.

$$x=-5y+2$$

Amnewid -5y+2 am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=18.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

Lluoswch 2 â -5y+2.

$$-10y+4+3y=18$$

Adio -10y at 3y.

$$-7y+4=18$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=-5y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

Lluoswch -5 â -2.

$$x=10+2$$

Adio 2 at 10.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Cyfuno x a -2x i gael -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$-x-2y-3y=-2$$

Cyfuno -2y a -3y i gael -5y.

$$-x-5y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x+3y=18$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=12,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Cyfuno x a -2x i gael -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$-x-2y-3y=-2$$

Cyfuno -2y a -3y i gael -5y.

$$-x-5y=-2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2.

$$2x+3y=18$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

I wneud -x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

Symleiddio.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

Tynnwch -2x-3y=-18 o -2x-10y=-4 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y+3y=-4+18$$

Adio -10y at 3y.

$$-7y=-4+18$$

Adio -4 at 18.

$$-7y=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn 2x+3y=18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

Lluoswch 3 â -2.

$$2x-6=18$$

Adio 6 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=-2$$