Datrys {l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Cyfuno 60y a -40y i gael 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Tynnu 12x o'r ddwy ochr.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Cyfuno 9x a -12x i gael -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Tynnu 16y o'r ddwy ochr.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Cyfuno 20y a -16y i gael 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Ychwanegu 5 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$-3x+4y=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+3y=10$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-3y+10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -3y+10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

Amnewid -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} am x yn yr hafaliad arall, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

Lluoswch -3 â -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

Adio \frac{9y}{4} at 4y.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

Adio \frac{15}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{25}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â 2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Adio \frac{5}{2} at -\frac{3}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Cyfuno 60y a -40y i gael 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Tynnu 12x o'r ddwy ochr.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Cyfuno 9x a -12x i gael -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Tynnu 16y o'r ddwy ochr.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Cyfuno 20y a -16y i gael 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Ychwanegu 5 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$-3x+4y=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x+20y.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 8y+1.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

Cyfuno 60y a -40y i gael 20y.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

Tynnu 12x o'r ddwy ochr.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

Cyfuno 9x a -12x i gael -3x.

$$-3x+20y-5=16y$$

Tynnu 16y o'r ddwy ochr.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

Cyfuno 20y a -16y i gael 4y.

$$-3x+4y-5=0$$

Ychwanegu 5 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$-3x+4y=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

I wneud 4x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

Symleiddio.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

Tynnwch -12x+16y=20 o -12x-9y=-30 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

Adio -12x at 12x. Mae'r termau -12x a 12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9y-16y=-30-20$$

Adio -9y at -16y.

$$-25y=-30-20$$

Adio -30 at -20.

$$-25y=-50$$

Rhannu’r ddwy ochr â -25.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn -3x+4y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+4\times 2=5$$

Lluoswch 4 â 2.

$$-3x+8=5$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=2$$