Datrys {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer p drwy ynysu p ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5p-q=7$$

Adio q at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5p=q+7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Amnewid \frac{7+q}{5} am p yn yr hafaliad arall, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

Lluoswch -2 â \frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

Adio -\frac{2q}{5} at 3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Adio \frac{14}{5} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{13}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$q=3$$

Cyfnewidiwch 3 am q yn p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer p yn uniongyrchol.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Adio \frac{7}{5} at \frac{3}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$p=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$p=2,q=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics p a q.

$$p=2,q=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

I wneud 5p a -2p yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Symleiddio.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Tynnwch -10p+15q=25 o -10p+2q=-14 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

Adio -10p at 10p. Mae'r termau -10p a 10p yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$2q-15q=-14-25$$

Adio 2q at -15q.

$$-13q=-14-25$$

Adio -14 at -25.

$$-13q=-39$$

Rhannu’r ddwy ochr â -13.

$$q=3$$

Cyfnewidiwch 3 am q yn -2p+3q=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer p yn uniongyrchol.

$$-2p+3\times 3=5$$

Lluoswch 3 â 3.

$$-2p+9=5$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2p=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$p=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$p=2,q=3$$