Datrys {r}{4x-2y=6}{-2x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 4 x - 2 y = 6 } \\ { - 2 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=11$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-2y=6$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=2y+6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 6+2y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Amnewid \frac{3+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, -2x+2y=8.

$$-2\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+2y=8$$

Lluoswch -2 â \frac{3+y}{2}.

$$-y-3+2y=8$$

Adio -y at 2y.

$$y-3=8$$

Adio 3 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=11$$

Cyfnewidiwch 11 am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\times 11+\frac{3}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 11.

$$x=\frac{11+3}{2}$$

Adio \frac{3}{2} at \frac{11}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=11$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\times 6+8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\11\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=11$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-2y=6,-2x+2y=8$$

I wneud 4x a -2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -2 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-2\times 4x-2\left(-2\right)y=-2\times 6,4\left(-2\right)x+4\times 2y=4\times 8$$

Symleiddio.

$$-8x+4y=-12,-8x+8y=32$$

Tynnwch -8x+8y=32 o -8x+4y=-12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-8x+8x+4y-8y=-12-32$$

Adio -8x at 8x. Mae'r termau -8x a 8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-8y=-12-32$$

Adio 4y at -8y.

$$-4y=-12-32$$

Adio -12 at -32.

$$-4y=-44$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=11$$

Cyfnewidiwch 11 am y yn -2x+2y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-2x+2\times 11=8$$

Lluoswch 2 â 11.

$$-2x+22=8$$

Tynnu 22 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=11$$