Datrys {r}{-2x-3y=-15}{x+y=6}

$$\left\{ \begin{array} { r } { - 2 x - 3 y = - 15 } \\ { x + y = 6 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-2x-3y=-15,x+y=6$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-2x-3y=-15$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=3y-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(3y-15\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -15+3y.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Amnewid \frac{-3y+15}{2} am x yn yr hafaliad arall, x+y=6.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=6$$

Adio -\frac{3y}{2} at y.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{15}{2}=6$$

Tynnu \frac{15}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{3}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -2.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{15}{2}$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â 3.

$$x=\frac{-9+15}{2}$$

Adio \frac{15}{2} at -\frac{9}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-2x-3y=-15,x+y=6$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&3\\-1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\6\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15+3\times 6\\-\left(-15\right)-2\times 6\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-2x-3y=-15,x+y=6$$

I wneud -2x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â -2.

$$-2x-3y=-15,-2x-2y=-2\times 6$$

Symleiddio.

$$-2x-3y=-15,-2x-2y=-12$$

Tynnwch -2x-2y=-12 o -2x-3y=-15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x-3y+2y=-15+12$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y+2y=-15+12$$

Adio -3y at 2y.

$$-y=-15+12$$

Adio -15 at 12.

$$-y=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x+y=6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+3=6$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=3$$