Datrys {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Cyfuno -2y a 12y i gael 10y.

$$3x+10y=13$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Lluosi -3 a 3 i gael -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Cyfuno 4x a -9x i gael -5x.

$$-8y-5x=-13$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+10y=13$$

Tynnu 10y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-10y+13$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -10y+13.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

Amnewid \frac{-10y+13}{3} am x yn yr hafaliad arall, -5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

Lluoswch -5 â \frac{-10y+13}{3}.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

Adio \frac{50y}{3} at -8y.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

Adio \frac{65}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{26}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

Adio \frac{13}{3} at -\frac{10}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Cyfuno -2y a 12y i gael 10y.

$$3x+10y=13$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Lluosi -3 a 3 i gael -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Cyfuno 4x a -9x i gael -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Cyfuno -2y a 12y i gael 10y.

$$3x+10y=13$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Lluosi -3 a 3 i gael -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Cyfuno 4x a -9x i gael -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

I wneud 3x a -5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -5 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

Symleiddio.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

Tynnwch -15x-24y=-39 o -15x-50y=-65 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

Adio -15x at 15x. Mae'r termau -15x a 15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-50y+24y=-65+39$$

Adio -50y at 24y.

$$-26y=-65+39$$

Adio -65 at 39.

$$-26y=-26$$

Rhannu’r ddwy ochr â -26.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn -5x-8y=-13. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-5x-8=-13$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5x=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$