Datrys {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=2$$

$$y=8$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y-2x=4$$

Adio 2x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=2x+4$$

Amnewid 4+2x am y yn yr hafaliad arall, 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Lluoswch 3 â 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Adio 6x at 2x.

$$8x+12=28$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$8x=16$$

Rhannu’r ddwy ochr â 8.

$$x=2$$

Cyfnewidiwch 2 am x yn y=2x+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=2\times 2+4$$

Lluoswch 2 â 2.

$$y=4+4$$

Adio 4 at 4.

$$y=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=8,x=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=8,x=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

I wneud y a 3y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Symleiddio.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Tynnwch 3y+2x=28 o 3y-6x=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Adio 3y at -3y. Mae'r termau 3y a -3y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-6x-2x=12-28$$

Adio -6x at -2x.

$$-8x=12-28$$

Adio 12 at -28.

$$-8x=-16$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$x=2$$

Cyfnewidiwch 2 am x yn 3y+2x=28. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$3y+2\times 2=28$$

Lluoswch 2 â 2.

$$3y+4=28$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=24$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=8,x=2$$