Datrys {l}{y=3x-5}{y=x+3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 5 } \\ { y = x + 3 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=4$$

$$y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=3$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$y-3x=-5$$

Adio 3x at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=3x-5$$

Amnewid 3x-5 am y yn yr hafaliad arall, y-x=3.

$$3x-5-x=3$$

Adio 3x at -x.

$$2x-5=3$$

Adio 5 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn y=3x-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=3\times 4-5$$

Lluoswch 3 â 4.

$$y=12-5$$

Adio -5 at 12.

$$y=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=7,x=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{3}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-5\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=7,x=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 3x o'r ddwy ochr.

$$y-3x=-5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y-3x=-5,y-x=3$$

Tynnwch y-x=3 o y-3x=-5 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$y-y-3x+x=-5-3$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3x+x=-5-3$$

Adio -3x at x.

$$-2x=-5-3$$

Adio -5 at -3.

$$-2x=-8$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=4$$

Cyfnewidiwch 4 am x yn y-x=3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y-4=3$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=7,x=4$$