Datrys {l}{y=-4/6x-5}{8x+5y=-45}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 4 } { 6 } x - 5 } \\ { 8 x + 5 y = - 45 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

$$y = -\frac{15}{7} = -2\frac{1}{7} \approx -2.142857143$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lleihau'r ffracsiwn \frac{4}{6} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Amnewid -\frac{2x}{3}-5 am y yn yr hafaliad arall, 5y+8x=-45.

$$5\left(-\frac{2}{3}x-5\right)+8x=-45$$

Lluoswch 5 â -\frac{2x}{3}-5.

$$-\frac{10}{3}x-25+8x=-45$$

Adio -\frac{10x}{3} at 8x.

$$\frac{14}{3}x-25=-45$$

Adio 25 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{14}{3}x=-20$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{14}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{30}{7} am x yn y=-\frac{2}{3}x-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\frac{2}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)-5$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â -\frac{30}{7} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{20}{7}-5$$

Adio -5 at \frac{20}{7}.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lleihau'r ffracsiwn \frac{4}{6} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Ychwanegu \frac{2}{3}x at y ddwy ochr.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{2}{3}\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{2}{3}\times 5}&-\frac{\frac{2}{3}}{8-\frac{2}{3}\times 5}\\-\frac{5}{8-\frac{2}{3}\times 5}&\frac{1}{8-\frac{2}{3}\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-45\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\left(-5\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{14}\left(-5\right)+\frac{3}{14}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lleihau'r ffracsiwn \frac{4}{6} i'r graddau lleiaf posib drwy dynnu a chanslo allan 2.

$$y=-\frac{2}{3}x-5$$

Ychwanegu \frac{2}{3}x at y ddwy ochr.

$$y+\frac{2}{3}x=-5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y+\frac{2}{3}x=-5,5y+8x=-45$$

I wneud y a 5y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$5y+5\times \frac{2}{3}x=5\left(-5\right),5y+8x=-45$$

Symleiddio.

$$5y+\frac{10}{3}x=-25,5y+8x=-45$$

Tynnwch 5y+8x=-45 o 5y+\frac{10}{3}x=-25 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5y-5y+\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Adio 5y at -5y. Mae'r termau 5y a -5y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{10}{3}x-8x=-25+45$$

Adio \frac{10x}{3} at -8x.

$$-\frac{14}{3}x=-25+45$$

Adio -25 at 45.

$$-\frac{14}{3}x=20$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{14}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{30}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{30}{7} am x yn 5y+8x=-45. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$5y+8\left(-\frac{30}{7}\right)=-45$$

Lluoswch 8 â -\frac{30}{7}.

$$5y-\frac{240}{7}=-45$$

Adio \frac{240}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=-\frac{75}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=-\frac{15}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{15}{7},x=-\frac{30}{7}$$