Datrys {l}{y=-4/5x-9}{y=-8x/3-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { - 4 } { 5 } x - 9 } \\ { y = - \frac { 8 x } { 3 } - 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x = -\frac{45}{14} = -3\frac{3}{14} \approx -3.214285714$$

$$y = -\frac{45}{7} = -6\frac{3}{7} \approx -6.428571429$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Gellir ailysgrifennu \frac{-4}{5} fel -\frac{4}{5} drwy echdynnu’r arwydd negatif.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Amnewid -\frac{4x}{5}-9 am y yn yr hafaliad arall, 3y+8x=-45.

$$3\left(-\frac{4}{5}x-9\right)+8x=-45$$

Lluoswch 3 â -\frac{4x}{5}-9.

$$-\frac{12}{5}x-27+8x=-45$$

Adio -\frac{12x}{5} at 8x.

$$\frac{28}{5}x-27=-45$$

Adio 27 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{28}{5}x=-18$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{28}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Cyfnewidiwch -\frac{45}{14} am x yn y=-\frac{4}{5}x-9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{45}{14}\right)-9$$

Lluoswch -\frac{4}{5} â -\frac{45}{14} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=\frac{18}{7}-9$$

Adio -9 at \frac{18}{7}.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Gellir ailysgrifennu \frac{-4}{5} fel -\frac{4}{5} drwy echdynnu’r arwydd negatif.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Ychwanegu \frac{4}{5}x at y ddwy ochr.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu \frac{8x}{3} at y ddwy ochr.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$3y+8x=-45$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{4}{5}\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\frac{4}{5}\times 3}&-\frac{\frac{4}{5}}{8-\frac{4}{5}\times 3}\\-\frac{3}{8-\frac{4}{5}\times 3}&\frac{1}{8-\frac{4}{5}\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{15}{28}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-45\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\left(-9\right)-\frac{1}{7}\left(-45\right)\\-\frac{15}{28}\left(-9\right)+\frac{5}{28}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{45}{7}\\-\frac{45}{14}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Gellir ailysgrifennu \frac{-4}{5} fel -\frac{4}{5} drwy echdynnu’r arwydd negatif.

$$y=-\frac{4}{5}x-9$$

Ychwanegu \frac{4}{5}x at y ddwy ochr.

$$y+\frac{4}{5}x=-9$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Ychwanegu \frac{8x}{3} at y ddwy ochr.

$$y+\frac{8x}{3}=-15$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$3y+8x=-45$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$y+\frac{4}{5}x=-9,3y+8x=-45$$

I wneud y a 3y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3y+3\times \frac{4}{5}x=3\left(-9\right),3y+8x=-45$$

Symleiddio.

$$3y+\frac{12}{5}x=-27,3y+8x=-45$$

Tynnwch 3y+8x=-45 o 3y+\frac{12}{5}x=-27 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3y-3y+\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Adio 3y at -3y. Mae'r termau 3y a -3y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{12}{5}x-8x=-27+45$$

Adio \frac{12x}{5} at -8x.

$$-\frac{28}{5}x=-27+45$$

Adio -27 at 45.

$$-\frac{28}{5}x=18$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{28}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=-\frac{45}{14}$$

Cyfnewidiwch -\frac{45}{14} am x yn 3y+8x=-45. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$3y+8\left(-\frac{45}{14}\right)=-45$$

Lluoswch 8 â -\frac{45}{14}.

$$3y-\frac{180}{7}=-45$$

Adio \frac{180}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=-\frac{135}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=-\frac{45}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{45}{7},x=-\frac{45}{14}$$