Datrys {l}{x_{1}-2x_{2}=3}{2x_{1}+3x_{2}=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } = 3 } \\ { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$x_{2}=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x_{1} drwy ynysu x_{1} ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x_{1}-2x_{2}=3$$

Adio 2x_{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x_{1}=2x_{2}+3$$

Amnewid 2x_{2}+3 am x_{1} yn yr hafaliad arall, 2x_{1}+3x_{2}=1.

$$2\left(2x_{2}+3\right)+3x_{2}=1$$

Lluoswch 2 â 2x_{2}+3.

$$4x_{2}+6+3x_{2}=1$$

Adio 4x_{2} at 3x_{2}.

$$7x_{2}+6=1$$

Tynnu 6 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7x_{2}=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{7} am x_{2} yn x_{1}=2x_{2}+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x_{1} yn uniongyrchol.

$$x_{1}=2\left(-\frac{5}{7}\right)+3$$

Lluoswch 2 â -\frac{5}{7}.

$$x_{1}=-\frac{10}{7}+3$$

Adio 3 at -\frac{10}{7}.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 3+\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}\times 3+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x_{1} a x_{2}.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x_{1}-2x_{2}=3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

I wneud x_{1} a 2x_{1} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x_{1}+2\left(-2\right)x_{2}=2\times 3,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Symleiddio.

$$2x_{1}-4x_{2}=6,2x_{1}+3x_{2}=1$$

Tynnwch 2x_{1}+3x_{2}=1 o 2x_{1}-4x_{2}=6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x_{1}-2x_{1}-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

Adio 2x_{1} at -2x_{1}. Mae'r termau 2x_{1} a -2x_{1} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4x_{2}-3x_{2}=6-1$$

Adio -4x_{2} at -3x_{2}.

$$-7x_{2}=6-1$$

Adio 6 at -1.

$$-7x_{2}=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$x_{2}=-\frac{5}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{5}{7} am x_{2} yn 2x_{1}+3x_{2}=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x_{1} yn uniongyrchol.

$$2x_{1}+3\left(-\frac{5}{7}\right)=1$$

Lluoswch 3 â -\frac{5}{7}.

$$2x_{1}-\frac{15}{7}=1$$

Adio \frac{15}{7} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x_{1}=\frac{22}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x_{1}=\frac{11}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x_{1}=\frac{11}{7},x_{2}=-\frac{5}{7}$$