Datrys {l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x_1, x_2

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn x_{1} ddim fod yn hafal i 0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Tynnu 2x_{1} o'r ddwy ochr.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x_{1} drwy ynysu x_{1} ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

Tynnu x_{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

Amnewid -x_{2}+97 am x_{1} yn yr hafaliad arall, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

Lluoswch -2 â -x_{2}+97.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

Adio 2x_{2} at x_{2}.

$$3x_{2}-194=0$$

Adio 194 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x_{2}=194$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{194}{3} am x_{2} yn x_{1}=-x_{2}+97. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x_{1} yn uniongyrchol.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

Adio 97 at -\frac{194}{3}.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn x_{1} ddim fod yn hafal i 0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Tynnu 2x_{1} o'r ddwy ochr.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x_{1} a x_{2}.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. All y newidyn x_{1} ddim fod yn hafal i 0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â x_{1}.

$$x_{2}=2x_{1}$$

Tynnu 2x_{1} o'r ddwy ochr.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

Tynnwch -2x_{1}+x_{2}=0 o x_{1}+x_{2}=97 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

Adio x_{2} at -x_{2}. Mae'r termau x_{2} a -x_{2} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

Adio x_{1} at 2x_{1}.

$$3x_{1}=97$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

Cyfnewidiwch \frac{97}{3} am x_{1} yn -2x_{1}+x_{2}=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x_{2} yn uniongyrchol.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

Lluoswch -2 â \frac{97}{3}.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

Adio \frac{194}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$