Datrys {l}{x-y=2}{4x=7y+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 2 } \\ { 4 x = 7 y + 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$4x-7y=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-y=2$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=y+2$$

Amnewid y+2 am x yn yr hafaliad arall, 4x-7y=5.

$$4\left(y+2\right)-7y=5$$

Lluoswch 4 â y+2.

$$4y+8-7y=5$$

Adio 4y at -7y.

$$-3y+8=5$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3y=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=y+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=1+2$$

Adio 2 at 1.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$4x-7y=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-7-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-7-\left(-4\right)}&\frac{1}{-7-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\\\frac{4}{3}\times 2-\frac{1}{3}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$4x-7y=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-y=2,4x-7y=5$$

I wneud x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 2,4x-7y=5$$

Symleiddio.

$$4x-4y=8,4x-7y=5$$

Tynnwch 4x-7y=5 o 4x-4y=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x-4y+7y=8-5$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y+7y=8-5$$

Adio -4y at 7y.

$$3y=8-5$$

Adio 8 at -5.

$$3y=3$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 4x-7y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-7=5$$

Adio 7 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$