Datrys {l}{x-y=10}{2x+2,5y=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + 2,5 y = 200 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=50$$

$$y=40$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-y=10$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=y+10$$

Amnewid y+10 am x yn yr hafaliad arall, 2x+2.5y=200.

$$2\left(y+10\right)+2.5y=200$$

Lluoswch 2 â y+10.

$$2y+20+2.5y=200$$

Adio 2y at \frac{5y}{2}.

$$4.5y+20=200$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4.5y=180$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 4.5, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=40$$

Cyfnewidiwch 40 am y yn x=y+10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=40+10$$

Adio 10 at 40.

$$x=50$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=50,y=40$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{2.5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2.5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2.5-\left(-2\right)}&\frac{1}{2.5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{4}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\\-\frac{4}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=50,y=40$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2.5y=200$$

Symleiddio.

$$2x-2y=20,2x+2.5y=200$$

Tynnwch 2x+2.5y=200 o 2x-2y=20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x-2y-2.5y=20-200$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-2.5y=20-200$$

Adio -2y at -\frac{5y}{2}.

$$-4.5y=20-200$$

Adio 20 at -200.

$$-4.5y=-180$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -4.5, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=40$$

Cyfnewidiwch 40 am y yn 2x+2.5y=200. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+2.5\times 40=200$$

Lluoswch 2.5 â 40.

$$2x+100=200$$

Tynnu 100 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=100$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=50$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=50,y=40$$