Datrys {l}{x-y=10}{2x+(2y+1/2)=200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + ( 2 y + \frac { 1 } { 2 } ) = 200 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{439}{8} = 54\frac{7}{8} = 54.875$$

$$y = \frac{359}{8} = 44\frac{7}{8} = 44.875$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-y=10$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=y+10$$

Amnewid y+10 am x yn yr hafaliad arall, 2x+2y+\frac{1}{2}=200.

$$2\left(y+10\right)+2y+\frac{1}{2}=200$$

Lluoswch 2 â y+10.

$$2y+20+2y+\frac{1}{2}=200$$

Adio 2y at 2y.

$$4y+20+\frac{1}{2}=200$$

Adio 20 at \frac{1}{2}.

$$4y+\frac{41}{2}=200$$

Tynnu \frac{41}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4y=\frac{359}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{359}{8} am y yn x=y+10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{359}{8}+10$$

Adio 10 at \frac{359}{8}.

$$x=\frac{439}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\\frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\\-\frac{1}{2}\times 10+\frac{1}{4}\times \frac{399}{2}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{439}{8}\\\frac{359}{8}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-y=10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Symleiddio.

$$2x-2y=20,2x+2y+\frac{1}{2}=200$$

Tynnwch 2x+2y+\frac{1}{2}=200 o 2x-2y=20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-2y-\frac{1}{2}=20-200$$

Adio -2y at -2y.

$$-4y-\frac{1}{2}=20-200$$

Adio 20 at -200.

$$-4y-\frac{1}{2}=-180$$

Adio \frac{1}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4y=-\frac{359}{2}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=\frac{359}{8}$$

Cyfnewidiwch \frac{359}{8} am y yn 2x+2y+\frac{1}{2}=200. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+2\times \frac{359}{8}+\frac{1}{2}=200$$

Lluoswch 2 â \frac{359}{8}.

$$2x+\frac{359}{4}+\frac{1}{2}=200$$

Adio \frac{359}{4} at \frac{1}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$2x+\frac{361}{4}=200$$

Tynnu \frac{361}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{439}{4}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{439}{8}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{439}{8},y=\frac{359}{8}$$