Datrys {l}{x-y=-5}{3x+2y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = - 5 } \\ { 3 x + 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-y=-5$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=y-5$$

Amnewid y-5 am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=10.

$$3\left(y-5\right)+2y=10$$

Lluoswch 3 â y-5.

$$3y-15+2y=10$$

Adio 3y at 2y.

$$5y-15=10$$

Adio 15 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5y=25$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=y-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=5-5$$

Adio -5 at 5.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\\-\frac{3}{5}\left(-5\right)+\frac{1}{5}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-y=-5,3x+2y=10$$

I wneud x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3x+3\left(-1\right)y=3\left(-5\right),3x+2y=10$$

Symleiddio.

$$3x-3y=-15,3x+2y=10$$

Tynnwch 3x+2y=10 o 3x-3y=-15 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x-3y-2y=-15-10$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-2y=-15-10$$

Adio -3y at -2y.

$$-5y=-15-10$$

Adio -15 at -10.

$$-5y=-25$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 3x+2y=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times 5=10$$

Lluoswch 2 â 5.

$$3x+10=10$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=5$$