Datrys {l}{x-7y=6}{5x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 7 y = 6 } \\ { 5 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{16}{19}\approx 0.842105263$$

$$y=-\frac{14}{19}\approx -0.736842105$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-7y=6$$

Adio 7y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=7y+6$$

Amnewid 7y+6 am x yn yr hafaliad arall, 5x+3y=2.

$$5\left(7y+6\right)+3y=2$$

Lluoswch 5 â 7y+6.

$$35y+30+3y=2$$

Adio 35y at 3y.

$$38y+30=2$$

Tynnu 30 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$38y=-28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{14}{19} am y yn x=7y+6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=7\left(-\frac{14}{19}\right)+6$$

Lluoswch 7 â -\frac{14}{19}.

$$x=-\frac{98}{19}+6$$

Adio 6 at -\frac{98}{19}.

$$x=\frac{16}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{3-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{7}{38}\\-\frac{5}{38}&\frac{1}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\times 6+\frac{7}{38}\times 2\\-\frac{5}{38}\times 6+\frac{1}{38}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{19}\\-\frac{14}{19}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-7y=6,5x+3y=2$$

I wneud x a 5x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 5 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\times 6,5x+3y=2$$

Symleiddio.

$$5x-35y=30,5x+3y=2$$

Tynnwch 5x+3y=2 o 5x-35y=30 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$5x-5x-35y-3y=30-2$$

Adio 5x at -5x. Mae'r termau 5x a -5x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-35y-3y=30-2$$

Adio -35y at -3y.

$$-38y=30-2$$

Adio 30 at -2.

$$-38y=28$$

Rhannu’r ddwy ochr â -38.

$$y=-\frac{14}{19}$$

Cyfnewidiwch -\frac{14}{19} am y yn 5x+3y=2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$5x+3\left(-\frac{14}{19}\right)=2$$

Lluoswch 3 â -\frac{14}{19}.

$$5x-\frac{42}{19}=2$$

Adio \frac{42}{19} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=\frac{80}{19}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{16}{19}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{16}{19},y=-\frac{14}{19}$$