Datrys {l}{x-4y=-1}{2x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 4 y = - 1 } \\ { 2 x + y = 16 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=7$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-4y=-1$$

Adio 4y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=4y-1$$

Amnewid 4y-1 am x yn yr hafaliad arall, 2x+y=16.

$$2\left(4y-1\right)+y=16$$

Lluoswch 2 â 4y-1.

$$8y-2+y=16$$

Adio 8y at y.

$$9y-2=16$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9y=18$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=4y-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=4\times 2-1$$

Lluoswch 4 â 2.

$$x=8-1$$

Adio -1 at 8.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{1-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{1-\left(-4\times 2\right)}&\frac{1}{1-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\16\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-1\right)+\frac{4}{9}\times 16\\-\frac{2}{9}\left(-1\right)+\frac{1}{9}\times 16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=7,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-4y=-1,2x+y=16$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\left(-4\right)y=2\left(-1\right),2x+y=16$$

Symleiddio.

$$2x-8y=-2,2x+y=16$$

Tynnwch 2x+y=16 o 2x-8y=-2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x-8y-y=-2-16$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8y-y=-2-16$$

Adio -8y at -y.

$$-9y=-2-16$$

Adio -2 at -16.

$$-9y=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn 2x+y=16. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+2=16$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=7$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=7,y=2$$