Datrys {l}{x-3y=4}{4x-6y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 3 y = 4 } \\ { 4 x - 6 y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-3y=4,4x-6y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-3y=4$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=3y+4$$

Amnewid 3y+4 am x yn yr hafaliad arall, 4x-6y=9.

$$4\left(3y+4\right)-6y=9$$

Lluoswch 4 â 3y+4.

$$12y+16-6y=9$$

Adio 12y at -6y.

$$6y+16=9$$

Tynnu 16 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6y=-7$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$y=-\frac{7}{6}$$

Cyfnewidiwch -\frac{7}{6} am y yn x=3y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=3\left(-\frac{7}{6}\right)+4$$

Lluoswch 3 â -\frac{7}{6}.

$$x=-\frac{7}{2}+4$$

Adio 4 at -\frac{7}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-3y=4,4x-6y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-3\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-6-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-6-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{-6-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4+\frac{1}{2}\times 9\\-\frac{2}{3}\times 4+\frac{1}{6}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-3y=4,4x-6y=9$$

I wneud x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$4x+4\left(-3\right)y=4\times 4,4x-6y=9$$

Symleiddio.

$$4x-12y=16,4x-6y=9$$

Tynnwch 4x-6y=9 o 4x-12y=16 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x-12y+6y=16-9$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-12y+6y=16-9$$

Adio -12y at 6y.

$$-6y=16-9$$

Adio 16 at -9.

$$-6y=7$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=-\frac{7}{6}$$

Cyfnewidiwch -\frac{7}{6} am y yn 4x-6y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-6\left(-\frac{7}{6}\right)=9$$

Lluoswch -6 â -\frac{7}{6}.

$$4x+7=9$$

Tynnu 7 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{7}{6}$$