Datrys {l}{x-2y=10}{2x+3y=-8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = 10 } \\ { 2 x + 3 y = - 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-2y=10$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=2y+10$$

Amnewid 10+2y am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=-8.

$$2\left(2y+10\right)+3y=-8$$

Lluoswch 2 â 10+2y.

$$4y+20+3y=-8$$

Adio 4y at 3y.

$$7y+20=-8$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$7y=-28$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn x=2y+10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2\left(-4\right)+10$$

Lluoswch 2 â -4.

$$x=-8+10$$

Adio 10 at -8.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-2\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 10+\frac{2}{7}\left(-8\right)\\-\frac{2}{7}\times 10+\frac{1}{7}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=-4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-2y=10,2x+3y=-8$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\left(-2\right)y=2\times 10,2x+3y=-8$$

Symleiddio.

$$2x-4y=20,2x+3y=-8$$

Tynnwch 2x+3y=-8 o 2x-4y=20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x-4y-3y=20+8$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-4y-3y=20+8$$

Adio -4y at -3y.

$$-7y=20+8$$

Adio 20 at 8.

$$-7y=28$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-4$$

Cyfnewidiwch -4 am y yn 2x+3y=-8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\left(-4\right)=-8$$

Lluoswch 3 â -4.

$$2x-12=-8$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=-4$$