Datrys {l}{x+y=45}{18x+120y=6000}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 45 } \\ { 18 x + 120 y = 6000 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{100}{17} = -5\frac{15}{17} \approx -5.882352941$$

$$y = \frac{865}{17} = 50\frac{15}{17} \approx 50.882352941$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=45$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+45$$

Amnewid -y+45 am x yn yr hafaliad arall, 18x+120y=6000.

$$18\left(-y+45\right)+120y=6000$$

Lluoswch 18 â -y+45.

$$-18y+810+120y=6000$$

Adio -18y at 120y.

$$102y+810=6000$$

Tynnu 810 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$102y=5190$$

Rhannu’r ddwy ochr â 102.

$$y=\frac{865}{17}$$

Cyfnewidiwch \frac{865}{17} am y yn x=-y+45. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{865}{17}+45$$

Adio 45 at -\frac{865}{17}.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&120\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{120}{120-18}&-\frac{1}{120-18}\\-\frac{18}{120-18}&\frac{1}{120-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}&-\frac{1}{102}\\-\frac{3}{17}&\frac{1}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}45\\6000\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{17}\times 45-\frac{1}{102}\times 6000\\-\frac{3}{17}\times 45+\frac{1}{102}\times 6000\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{100}{17}\\\frac{865}{17}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=45,18x+120y=6000$$

I wneud x a 18x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 18 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$18x+18y=18\times 45,18x+120y=6000$$

Symleiddio.

$$18x+18y=810,18x+120y=6000$$

Tynnwch 18x+120y=6000 o 18x+18y=810 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x+18y-120y=810-6000$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$18y-120y=810-6000$$

Adio 18y at -120y.

$$-102y=810-6000$$

Adio 810 at -6000.

$$-102y=-5190$$

Rhannu’r ddwy ochr â -102.

$$y=\frac{865}{17}$$

Cyfnewidiwch \frac{865}{17} am y yn 18x+120y=6000. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$18x+120\times \frac{865}{17}=6000$$

Lluoswch 120 â \frac{865}{17}.

$$18x+\frac{103800}{17}=6000$$

Tynnu \frac{103800}{17} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$18x=-\frac{1800}{17}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 18.

$$x=-\frac{100}{17}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{100}{17},y=\frac{865}{17}$$