Datrys {l}{x+y=40}{y+2=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 40 } \\ { y + 2 = 2 x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=14$$

$$y=26$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y+2-2x=0$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$y-2x=-2$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=40$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+40$$

Amnewid -y+40 am x yn yr hafaliad arall, -2x+y=-2.

$$-2\left(-y+40\right)+y=-2$$

Lluoswch -2 â -y+40.

$$2y-80+y=-2$$

Adio 2y at y.

$$3y-80=-2$$

Adio 80 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=78$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=26$$

Cyfnewidiwch 26 am y yn x=-y+40. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-26+40$$

Adio 40 at -26.

$$x=14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=14,y=26$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y+2-2x=0$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$y-2x=-2$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 40-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\times 40+\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\26\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=14,y=26$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$y+2-2x=0$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$y-2x=-2$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=40,-2x+y=-2$$

Tynnwch -2x+y=-2 o x+y=40 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x+2x+y-y=40+2$$

Adio y at -y. Mae'r termau y a -y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$x+2x=40+2$$

Adio x at 2x.

$$3x=40+2$$

Adio 40 at 2.

$$3x=42$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=14$$

Cyfnewidiwch 14 am x yn -2x+y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-2\times 14+y=-2$$

Lluoswch -2 â 14.

$$-28+y=-2$$

Adio 28 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$y=26$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=14,y=26$$