Datrys {l}{x+y=30000}{0.66x-0.03y=90}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30000 } \\ { 0.66 x - 0.03 y = 90 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{33000}{23} = 1434\frac{18}{23} \approx 1434.782608696$$

$$y = \frac{657000}{23} = 28565\frac{5}{23} \approx 28565.217391304$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=30000$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+30000$$

Amnewid -y+30000 am x yn yr hafaliad arall, 0.66x-0.03y=90.

$$0.66\left(-y+30000\right)-0.03y=90$$

Lluoswch 0.66 â -y+30000.

$$-0.66y+19800-0.03y=90$$

Adio -\frac{33y}{50} at -\frac{3y}{100}.

$$-0.69y+19800=90$$

Tynnu 19800 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-0.69y=-19710$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -0.69, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{657000}{23}$$

Cyfnewidiwch \frac{657000}{23} am y yn x=-y+30000. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{657000}{23}+30000$$

Adio 30000 at -\frac{657000}{23}.

$$x=\frac{33000}{23}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{-0.03-0.66}&-\frac{1}{-0.03-0.66}\\-\frac{0.66}{-0.03-0.66}&\frac{1}{-0.03-0.66}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&\frac{100}{69}\\\frac{22}{23}&-\frac{100}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 30000+\frac{100}{69}\times 90\\\frac{22}{23}\times 30000-\frac{100}{69}\times 90\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33000}{23}\\\frac{657000}{23}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

I wneud x a \frac{33x}{50} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 0.66 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$0.66x+0.66y=0.66\times 30000,0.66x-0.03y=90$$

Symleiddio.

$$0.66x+0.66y=19800,0.66x-0.03y=90$$

Tynnwch 0.66x-0.03y=90 o 0.66x+0.66y=19800 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.66x-0.66x+0.66y+0.03y=19800-90$$

Adio \frac{33x}{50} at -\frac{33x}{50}. Mae'r termau \frac{33x}{50} a -\frac{33x}{50} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$0.66y+0.03y=19800-90$$

Adio \frac{33y}{50} at \frac{3y}{100}.

$$0.69y=19800-90$$

Adio 19800 at -90.

$$0.69y=19710$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.69, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{657000}{23}$$

Cyfnewidiwch \frac{657000}{23} am y yn 0.66x-0.03y=90. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$0.66x-0.03\times \frac{657000}{23}=90$$

Lluoswch -0.03 â \frac{657000}{23} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$0.66x-\frac{19710}{23}=90$$

Adio \frac{19710}{23} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.66x=\frac{21780}{23}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.66, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{33000}{23}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$