Datrys {l}{x+y=220}{2/5x=3/8y-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 220 } \\ { \frac { 2 } { 5 } x = \frac { 3 } { 8 } y - 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=100$$

$$y=120$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{3}{8}y o'r ddwy ochr.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=220$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+220$$

Amnewid -y+220 am x yn yr hafaliad arall, \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5.

$$\frac{2}{5}\left(-y+220\right)-\frac{3}{8}y=-5$$

Lluoswch \frac{2}{5} â -y+220.

$$-\frac{2}{5}y+88-\frac{3}{8}y=-5$$

Adio -\frac{2y}{5} at -\frac{3y}{8}.

$$-\frac{31}{40}y+88=-5$$

Tynnu 88 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{31}{40}y=-93$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{31}{40}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=120$$

Cyfnewidiwch 120 am y yn x=-y+220. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-120+220$$

Adio 220 at -120.

$$x=100$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=100,y=120$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{3}{8}y o'r ddwy ochr.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{8}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&-\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\\-\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}&\frac{1}{-\frac{3}{8}-\frac{2}{5}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}&\frac{40}{31}\\\frac{16}{31}&-\frac{40}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}220\\-5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{31}\times 220+\frac{40}{31}\left(-5\right)\\\frac{16}{31}\times 220-\frac{40}{31}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\120\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=100,y=120$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{3}{8}y o'r ddwy ochr.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

I wneud x a \frac{2x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{2}{5} a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=\frac{2}{5}\times 220,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Symleiddio.

$$\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88,\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5$$

Tynnwch \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5 o \frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y=88 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{2}{5}x-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Adio \frac{2x}{5} at -\frac{2x}{5}. Mae'r termau \frac{2x}{5} a -\frac{2x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{2}{5}y+\frac{3}{8}y=88+5$$

Adio \frac{2y}{5} at \frac{3y}{8}.

$$\frac{31}{40}y=88+5$$

Adio 88 at 5.

$$\frac{31}{40}y=93$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{31}{40}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=120$$

Cyfnewidiwch 120 am y yn \frac{2}{5}x-\frac{3}{8}y=-5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{2}{5}x-\frac{3}{8}\times 120=-5$$

Lluoswch -\frac{3}{8} â 120.

$$\frac{2}{5}x-45=-5$$

Adio 45 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{2}{5}x=40$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{2}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=100$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=100,y=120$$