Datrys {l}{x+y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=96$$

$$y=108$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{3}{4}x o'r ddwy ochr.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=204$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+204$$

Amnewid -y+204 am x yn yr hafaliad arall, -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0.

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â -y+204.

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

Adio \frac{3y}{4} at \frac{2y}{3}.

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

Adio 153 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{17}{12}y=153$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{17}{12}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=108$$

Cyfnewidiwch 108 am y yn x=-y+204. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-108+204$$

Adio 204 at -108.

$$x=96$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=96,y=108$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{3}{4}x o'r ddwy ochr.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=96,y=108$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu \frac{3}{4}x o'r ddwy ochr.

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

I wneud x a -\frac{3x}{4} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -\frac{3}{4} a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Symleiddio.

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

Tynnwch -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 o -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Adio -\frac{3x}{4} at \frac{3x}{4}. Mae'r termau -\frac{3x}{4} a \frac{3x}{4} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

Adio -\frac{3y}{4} at -\frac{2y}{3}.

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{12}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=108$$

Cyfnewidiwch 108 am y yn -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

Lluoswch \frac{2}{3} â 108.

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

Tynnu 72 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{3}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=96$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=96,y=108$$