Datrys {l}{x+y=15}{250x+80y=2900}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 15 } \\ { 250 x + 80 y = 2900 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+y=15$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-y+15$$

Amnewid -y+15 am x yn yr hafaliad arall, 250x+80y=2900.

$$250\left(-y+15\right)+80y=2900$$

Lluoswch 250 â -y+15.

$$-250y+3750+80y=2900$$

Adio -250y at 80y.

$$-170y+3750=2900$$

Tynnu 3750 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-170y=-850$$

Rhannu’r ddwy ochr â -170.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn x=-y+15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-5+15$$

Adio 15 at -5.

$$x=10$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=10,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\250&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-250}&-\frac{1}{80-250}\\-\frac{250}{80-250}&\frac{1}{80-250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}&\frac{1}{170}\\\frac{25}{17}&-\frac{1}{170}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\2900\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{17}\times 15+\frac{1}{170}\times 2900\\\frac{25}{17}\times 15-\frac{1}{170}\times 2900\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=10,y=5$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+y=15,250x+80y=2900$$

I wneud x a 250x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 250 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$250x+250y=250\times 15,250x+80y=2900$$

Symleiddio.

$$250x+250y=3750,250x+80y=2900$$

Tynnwch 250x+80y=2900 o 250x+250y=3750 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$250x-250x+250y-80y=3750-2900$$

Adio 250x at -250x. Mae'r termau 250x a -250x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$250y-80y=3750-2900$$

Adio 250y at -80y.

$$170y=3750-2900$$

Adio 3750 at -2900.

$$170y=850$$

Rhannu’r ddwy ochr â 170.

$$y=5$$

Cyfnewidiwch 5 am y yn 250x+80y=2900. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$250x+80\times 5=2900$$

Lluoswch 80 â 5.

$$250x+400=2900$$

Tynnu 400 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$250x=2500$$

Rhannu’r ddwy ochr â 250.

$$x=10$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=10,y=5$$