Datrys {l}{x+my=a}{x-ny=b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+my=a$$

Tynnu my o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

Amnewid a-my am x yn yr hafaliad arall, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

Adio -my at -ny.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

Tynnu a o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

Rhannu’r ddwy ochr â -m-n.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Cyfnewidiwch -\frac{b-a}{m+n} am y yn x=\left(-m\right)y+a. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

Lluoswch -m â -\frac{b-a}{m+n}.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

Adio a at \frac{m\left(b-a\right)}{m+n}.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

Tynnwch x+\left(-n\right)y=b o x+my=a trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-x+my+ny=a-b$$

Adio x at -x. Mae'r termau x a -x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$my+ny=a-b$$

Adio my at ny.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

Rhannu’r ddwy ochr â m+n.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

Cyfnewidiwch \frac{a-b}{m+n} am y yn x+\left(-n\right)y=b. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

Lluoswch -n â \frac{a-b}{m+n}.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

Adio \frac{n\left(a-b\right)}{m+n} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$