Datrys {l}{x+5y-7=0}{2x-y-4=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y - 7 = 0 } \\ { 2 x - y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{27}{11} = 2\frac{5}{11} \approx 2.454545455$$

$$y=\frac{10}{11}\approx 0.909090909$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+5y-7=0,2x-y-4=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+5y-7=0$$

Adio 7 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x+5y=7$$

Tynnu 5y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-5y+7$$

Amnewid -5y+7 am x yn yr hafaliad arall, 2x-y-4=0.

$$2\left(-5y+7\right)-y-4=0$$

Lluoswch 2 â -5y+7.

$$-10y+14-y-4=0$$

Adio -10y at -y.

$$-11y+14-4=0$$

Adio 14 at -4.

$$-11y+10=0$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-11y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$y=\frac{10}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{10}{11} am y yn x=-5y+7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-5\times \frac{10}{11}+7$$

Lluoswch -5 â \frac{10}{11}.

$$x=-\frac{50}{11}+7$$

Adio 7 at -\frac{50}{11}.

$$x=\frac{27}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{27}{11},y=\frac{10}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+5y-7=0,2x-y-4=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-5\times 2}&-\frac{5}{-1-5\times 2}\\-\frac{2}{-1-5\times 2}&\frac{1}{-1-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7+\frac{5}{11}\times 4\\\frac{2}{11}\times 7-\frac{1}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{11}\\\frac{10}{11}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{27}{11},y=\frac{10}{11}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+5y-7=0,2x-y-4=0$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\times 5y+2\left(-7\right)=0,2x-y-4=0$$

Symleiddio.

$$2x+10y-14=0,2x-y-4=0$$

Tynnwch 2x-y-4=0 o 2x+10y-14=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+10y+y-14+4=0$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$10y+y-14+4=0$$

Adio 10y at y.

$$11y-14+4=0$$

Adio -14 at 4.

$$11y-10=0$$

Adio 10 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$11y=10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$y=\frac{10}{11}$$

Cyfnewidiwch \frac{10}{11} am y yn 2x-y-4=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-\frac{10}{11}-4=0$$

Adio -\frac{10}{11} at -4.

$$2x-\frac{54}{11}=0$$

Adio \frac{54}{11} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=\frac{54}{11}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{27}{11}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{27}{11},y=\frac{10}{11}$$