Datrys {l}{x+4y=7}{2x-7y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 7 } \\ { 2 x - 7 y = - 31 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-5$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+4y=7$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-4y+7$$

Amnewid -4y+7 am x yn yr hafaliad arall, 2x-7y=-31.

$$2\left(-4y+7\right)-7y=-31$$

Lluoswch 2 â -4y+7.

$$-8y+14-7y=-31$$

Adio -8y at -7y.

$$-15y+14=-31$$

Tynnu 14 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-15y=-45$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-4y+7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-4\times 3+7$$

Lluoswch -4 â 3.

$$x=-12+7$$

Adio 7 at -12.

$$x=-5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-5,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-4\times 2}&-\frac{4}{-7-4\times 2}\\-\frac{2}{-7-4\times 2}&\frac{1}{-7-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-31\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{15}\times 7+\frac{4}{15}\left(-31\right)\\\frac{2}{15}\times 7-\frac{1}{15}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-5,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+4y=7,2x-7y=-31$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\times 4y=2\times 7,2x-7y=-31$$

Symleiddio.

$$2x+8y=14,2x-7y=-31$$

Tynnwch 2x-7y=-31 o 2x+8y=14 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+8y+7y=14+31$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y+7y=14+31$$

Adio 8y at 7y.

$$15y=14+31$$

Adio 14 at 31.

$$15y=45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 2x-7y=-31. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x-7\times 3=-31$$

Lluoswch -7 â 3.

$$2x-21=-31$$

Adio 21 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-5$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-5,y=3$$