Datrys {l}{x+4y=20}{3y+(x-2y)=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 20 } \\ { 3 y + ( x - 2 y ) = 11 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=8$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$y+x=11$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+4y=20,x+y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+4y=20$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-4y+20$$

Amnewid -4y+20 am x yn yr hafaliad arall, x+y=11.

$$-4y+20+y=11$$

Adio -4y at y.

$$-3y+20=11$$

Tynnu 20 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3y=-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-4y+20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-4\times 3+20$$

Lluoswch -4 â 3.

$$x=-12+20$$

Adio 20 at -12.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$y+x=11$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+4y=20,x+y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{4}{1-4}\\-\frac{1}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 20+\frac{4}{3}\times 11\\\frac{1}{3}\times 20-\frac{1}{3}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=8,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$y+x=11$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+4y=20,x+y=11$$

Tynnwch x+y=11 o x+4y=20 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$x-x+4y-y=20-11$$

Adio x at -x. Mae'r termau x a -x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4y-y=20-11$$

Adio 4y at -y.

$$3y=20-11$$

Adio 20 at -11.

$$3y=9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x+y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+3=11$$

Tynnu 3 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=8$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=8,y=3$$