Datrys {l}{x+3y=6}{2x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+3y=6$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-3y+6$$

Amnewid -3y+6 am x yn yr hafaliad arall, 2x+y=7.

$$2\left(-3y+6\right)+y=7$$

Lluoswch 2 â -3y+6.

$$-6y+12+y=7$$

Adio -6y at y.

$$-5y+12=7$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5y=-5$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=-3y+6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-3+6$$

Adio 6 at -3.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 6+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 6-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

I wneud x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$2x+2\times 3y=2\times 6,2x+y=7$$

Symleiddio.

$$2x+6y=12,2x+y=7$$

Tynnwch 2x+y=7 o 2x+6y=12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$2x-2x+6y-y=12-7$$

Adio 2x at -2x. Mae'r termau 2x a -2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y-y=12-7$$

Adio 6y at -y.

$$5y=12-7$$

Adio 12 at -7.

$$5y=5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 2x+y=7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+1=7$$

Tynnu 1 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=6$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$