Datrys {l}{x+2y=-18}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 18 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7} \approx -2.857142857$$

$$y = -\frac{53}{7} = -7\frac{4}{7} \approx -7.571428571$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x+2y=-18$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-2y-18$$

Amnewid -2y-18 am x yn yr hafaliad arall, 3x-y=-1.

$$3\left(-2y-18\right)-y=-1$$

Lluoswch 3 â -2y-18.

$$-6y-54-y=-1$$

Adio -6y at -y.

$$-7y-54=-1$$

Adio 54 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=53$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=-\frac{53}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{53}{7} am y yn x=-2y-18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\left(-\frac{53}{7}\right)-18$$

Lluoswch -2 â -\frac{53}{7}.

$$x=\frac{106}{7}-18$$

Adio -18 at \frac{106}{7}.

$$x=-\frac{20}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-18\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{7}\\-\frac{53}{7}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

I wneud x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$3x+3\times 2y=3\left(-18\right),3x-y=-1$$

Symleiddio.

$$3x+6y=-54,3x-y=-1$$

Tynnwch 3x-y=-1 o 3x+6y=-54 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$3x-3x+6y+y=-54+1$$

Adio 3x at -3x. Mae'r termau 3x a -3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y+y=-54+1$$

Adio 6y at y.

$$7y=-54+1$$

Adio -54 at 1.

$$7y=-53$$

Rhannu’r ddwy ochr â 7.

$$y=-\frac{53}{7}$$

Cyfnewidiwch -\frac{53}{7} am y yn 3x-y=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-\left(-\frac{53}{7}\right)=-1$$

Tynnu \frac{53}{7} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-\frac{60}{7}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=-\frac{20}{7}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$